ПРО ЦІКАВІ ТОЧКИ ТА ЛІНІЇ В ТРИКУТНИКУ

Теорема Архімеда – в задачах давніх та сучасних математиків.

Якби великий Архімед став автором тільки цієї теореми, то навіть тоді він, безперечно, увійшов би до історії математики. Справді, теорема Архімеда – сама по собі блискуча задача, яка має багато прекрасних способів розв'язання. За її допомогою Архімед довів формулу Герона (адже саме Архімед уперше вивів формулу, яка згодом була названа формулою Герона!). Усупереч своєму більш ніж двохтисячолітньому віку, теорема Архімеда – неодмінний учасник конкурсних екзаменів в престижні вузи на математичні спеціальності. Теорема Архімеда допомагає також розв'язати цілий ряд важливих задач із планіметрії. Та, нарешті, свого часу вона рішуче просунула вперед тригонометрію – саме завдяки теоремі Архімеда відомий математик аль-Біруні вивів у ХІ столітті ряд геометричних теорем про хорди, рівносильні основним тригонометричним формулам.

У працях аль-Біруні теорема Архімеда мала вигляд:

Теорема Архімеда. У дугу вписано дволанкову ламану. Із середини дуги на неї проведено перпендикуляр. Довести, що ламана ділиться цим перпендикуляром навпіл.

Людство, на жаль, не знає, як довів теорему сам Архімед –  далеко не всі  його праці збереглися. Нам видається, читачам варто ознайомитися із сучасним формулюванням теореми Архімеда,  тому наводимо декілька способів її доведення, а також застосування теореми Архімеда в різноманітних задачах.

Теорема Архімеда  ( сучасні способи доведення та застосування).

Задача 1. Доведіть, що проекція діаметра описаного кола, перпендикулярного першій  стороні трикутника, на пряму, яка містить другу сторону, рівна за довжиною третій стороні трикутника. Розвязання.

         На прикладі розглянутих 12-ти задач ми переконалися, що теорема Архімеда є корисним та потужним інструментом шкільної геометрії. Інші задачі - задача Менелая, пряма Сімпсона)